在數(shù)學上，數(shù)的個數(shù)是無限的，而且大小也是無限的。無論多大的數(shù)，都能找出比它更大的數(shù)。假設M是一個極大的數(shù)，哪怕給這個數(shù)加上0.0001，所得到的M+0.0001也會比M大。同樣地，無論多小的數(shù)，也能找出比它更小的數(shù)，只要在它基礎上再減去一個大于0的數(shù)即可。

因此，數(shù)學上并不存在最大的數(shù)，也不存在最小的數(shù)。不過，數(shù)學家倒是發(fā)現(xiàn)過一些非常大且有意義的數(shù)，它們能夠大到難以想象的程度。另一方面，給非常大的數(shù)添上負號，就能得到非常小的數(shù)，所以要找最小的數(shù)等同于找最大的數(shù)。那么，數(shù)學家發(fā)現(xiàn)的最大有意義的數(shù)是多少呢？

最大的數(shù)

構造一個大數(shù)，很多人可能會首先想到指數(shù)或者階乘。9^128相當于1.39×10^122，128!相當于3.85×10^215，這兩個數(shù)已經(jīng)遠遠超過了可觀測宇宙中的粒子總數(shù)（10^80）。但在數(shù)學上，還有構造出更大數(shù)的方法，比如高德納箭號表示法：

根據(jù)上式，如果a=3，和b=5，當n=1時，可得：

3↑5=3^5=3×3×3×3×3=243

當n=2時，3↑↑5這個數(shù)的大小會急劇增大：

3↑↑5=3^3^3^3^3=3^3^3^27=3^3^7625597484987≈3^(1.258×10^3638334640024)

3↑↑5這個數(shù)已經(jīng)大到不可思議的程度，如果再加一層，3↑↑↑5更是大到無法想象的程度。

數(shù)學家葛立恒在解決與拉姆齊二染色定理有關的問題時，發(fā)現(xiàn)了一個當時被認為最大的數(shù)，后來被稱為葛立恒數(shù)。這個數(shù)實在太大了，它的表示方法很特別，如下所示：

從下往上看，每一層的數(shù)都表示上一層的箭頭個數(shù)。第一層為：

g(1)=3↑↑↑↑3=3↑↑↑[3↑↑↑(3↑↑↑3)]

3↑↑↑3=3^3^3……^3，這個指數(shù)塔中，共有7625597484987或者3^3^3個3

就g(1)而言，這個數(shù)已經(jīng)大到無法用常規(guī)的方式表達。到了第二層，箭頭個數(shù)變成了g(1)個，這一層的數(shù)會更加大幅增長。而葛立恒數(shù)總計64層，每增加一層，數(shù)就會急劇增大。葛立恒數(shù)之大超乎想象，如果要把這個數(shù)完全展開，在直徑930億光年的可觀測宇宙中，每個最小的普朗克空間（4×10^-105立方米）寫一個數(shù)，也遠遠寫不完葛立恒數(shù)的所有數(shù)。

后來，數(shù)學家又發(fā)現(xiàn)了超越葛立恒數(shù)的數(shù)，當然不是“葛立恒數(shù)+1”，或者“葛立恒數(shù)^葛立恒數(shù)”，因為這些數(shù)沒有什么意義。這個更大的數(shù)與矩陣樹定理中的TREE函數(shù)有關，這是一個增長速度極快的函數(shù)。

TREE函數(shù)增長快到什么程度呢？TREE(1)=1，TREE(2)=3，乍一看這個函數(shù)不咋樣。然而，到了TREE(3)，這個數(shù)突然暴增到不可思議的巨大程度。TREE(3)比葛立恒數(shù)，就像葛立恒數(shù)比1。

TREE(3)的最大紀錄也被打破了，因為還有比TREE函數(shù)增長速度快得多的SSCG函數(shù)。SSCG(0)=2，SSCG(1)=5，這個函數(shù)一開始也是增長很慢，但SSCG(2)已經(jīng)達到了3×2^(3×2^95)-8，相當于3后面跟了3萬億億億個0。到了SSCG(3)，這個數(shù)已經(jīng)遠遠超過TREE(TREE(...TREE(3)...))，總嵌套層數(shù)為TREE(3)個，葛立恒數(shù)在它面前小到近乎為0。SCG是與SSCG相近的函數(shù)，其增長速度還要更快，SCG(3)還要大于SSCG(3)。

最小的數(shù)

如果要說數(shù)學中最小的數(shù)，可以在給SCG(3)加個負號，-SCG(3)可以小到不可思議的程度。如果要說科學意義上最小的數(shù)，各種普朗克單位就非常小，比如上面提到的1普朗克空間，數(shù)量級在10^-105。更小可以小到0，那就是0開氏度的絕對零度，但這個溫度在現(xiàn)實中無法達到。